11767. Вписанная окружность треугольника ABC
касается сторон AB
, BC
, CA
в точках C_{0}
, A_{0}
, B_{0}
соответственно. Докажите, что линия центров описанных окружностей треугольников AB_{0}C_{0}
и CB_{0}A_{0}
параллельна прямой AC
.
Решение. Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
. Отрезок AI
— диаметр описанной окружности четырёхугольника AB_{0}IC_{0}
, а центр O_{1}
этой окружности — середина отрезка AI
, так как углы AB_{0}I
и AC_{0}I
прямые. Аналогично середина O_{2}
отрезка CI
— центр описанной окружности четырёхугольника CB_{0}IA_{0}
. Отрезок O_{1}O_{2}
— средняя линия треугольника AIC
, следовательно, O_{1}O_{2}\parallel AC
.
Автор: Швецов Д. В.
Источник: Грибалко А. В., Медников Л. Э., Шаповалов А. В. XIX—XX турниры математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2019. — № 286, с. 39