1177. Высоты остроугольного треугольника ABC
, проведённые из вершин A
и B
, пересекаются в точке H
, причём \angle AHB=120^{\circ}
, а биссектрисы, проведённые из вершин B
и C
, — в точке K
, причём \angle BKC=130^{\circ}
. Найдите угол ABC
.
Ответ. 40^{\circ}
.
Указание. Если один из углов треугольника равен \alpha
, то противолежащая ему сторона видна из точки пересечения биссектрис под углом 90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}
.
Решение. Поскольку \angle AHB=120^{\circ}
, а угол ACB
— острый, то
\angle ACB=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}.
Поскольку
\angle BKC=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BAC,
то
\angle BAC=2\angle BKC-180^{\circ}=260^{\circ}-180^{\circ}=80^{\circ}.
Следовательно,
\angle ABC=180^{\circ}-60^{\circ}-80^{\circ}=40^{\circ}.