11771. На сторонах AB
, BC
, CA
треугольника ABC
отмечены точки C_{1}
, A_{1}
, B_{1}
соответственно так, что BC_{1}=C_{1}A_{1}=A_{1}B_{1}=B_{1}C
. Докажите, что точка пересечения высот треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
лежит на биссектрисе угла A
.
Решение. Рассмотрим случай остроугольного треугольника ABC
.
Треугольники BC_{1}A_{1}
и CB_{1}A_{1}
равнобедренные, поэтому
\angle C_{1}A_{1}B_{1}=180^{\circ}-\angle BA_{1}C_{1}-\angle CA_{1}B-{1}=180^{\circ}-\angle B-\angle C=\angle A.
Пусть H
— ортоцентр равнобедренного треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
. Тогда HB_{1}=HC_{1}
и
\angle C_{1}HB_{1}=180^{\circ}-\angle C_{1}A_{1}B_{1}=180^{\circ}-\angle A.
Значит, четырёхугольник AC_{1}HB_{1}
вписанный, поэтому вписанные углы C_{1}AH
и B_{1}AH
равны как опирающиеся на равные хорды HC_{1}
и HB_{1}
. Следовательно, AH
— биссектриса угла BAC
. Что и требовалось доказать.
Утверждение задачи верно и для тупоугольного треугольника ABC
. В этом случае какие-то из точек A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
точек могут оказаться на продолжениях сторон.