11772. Из точки B_{1}
, лежащей на стороне AC
треугольника ABC
, опустили перпендикуляры B_{1}E
и B_{1}F
на стороны AB
и BC
. Оказалось, что прямые EF
и AC
параллельны. Пусть A_{1}
и C_{1}
— аналогичные точки на сторонах BC
и AB
соответственно. Докажите, что прямые AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
пересекаются в одной точке.
Решение. Докажем, что прямая BB_{1}
содержит диаметр описанной окружности \Omega
треугольника ABC
, т. е. проходит через её центр.
Рассмотрим гомотетию с центром в точке B
, переводящую отрезок EF
в отрезок AC
. Прямая, не проходящая через центр гомотетии, переходит в параллельную её прямую, поэтому точка B_{1}
переходит в такую точку B_{2}
, что углы B_{2}AB
и B_{2}CB
прямые. Значит, точки A
и C
лежат на окружности с диаметром BB_{2}
. Эта окружность совпадает с окружность \Omega
. Аналогично доказывается, что прямые AA_{1}
и CC_{1}
проходят через центр окружности \Omega
.
Автор: Калинин Д. А.
Источник: Грибалко А. В., Медников Л. Э., Шаповалов А. В. XIX—XX турниры математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2019. — № 291, с. 40