11773. Биссектрисы AI
и CI
острых углов прямоугольного треугольника ABC
повторно пересекают описанную окружность в точках A_{1}
и C_{1}
соответственно, а B_{0}
— точка касания вписанной окружности со стороной AC
. Докажите, что I
— центр вписанной окружности треугольника A_{1}B_{0}C_{1}
.
Решение. Поскольку
\angle AC_{1}I=\angle AC_{1}C=90^{\circ}~\mbox{и}~\angle AB_{0}I=90^{\circ},
четырёхугольник AC_{1}IB_{0}
вписанный. Значит,
\angle B_{0}C_{1}I=\angle B_{0}AI=\angle CAA_{1}=\angle CC_{1}A_{1},
поэтому C_{1}I
— биссектриса угла A_{1}C_{1}B_{0}
. Аналогично, A_{1}I
— биссектриса угла C_{1}A_{1}B_{0}
. Следовательно, I
— центр вписанной окружности треугольника A_{1}B_{0}C_{1}
. Что и требовалось доказать.
Автор: Швецов Д. В.
Источник: Грибалко А. В., Медников Л. Э., Шаповалов А. В. XIX—XX турниры математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2019. — № 292, с. 40