11774. На гипотенузу прямоугольного треугольника ABC
опущена высота CH
. Вписанная окружность треугольника касается сторон AB
, BC
, CA
в точках C_{0}
, A_{0}
, B_{0}
соответственно. Докажите, что середина отрезка A_{0}B_{0}
равноудалена от точек C_{0}
и H
.
Решение. Пусть I
— центр вписанной окружности. Середина K
отрезка A_{0}B_{0}
является также серединой отрезка CI
, так как CA_{0}IB_{0}
— квадрат, а CI
и A_{0}B_{0}
— его диагонали. Кроме того, CIC_{0}H
— прямоугольная трапеция. Середина большей боковой стороны прямоугольной трапеции равноудалена от концов меньшей боковой стороны, так как серединный перпендикуляр к меньшей стороне содержит среднюю линию трапеции.