11775. Окружность с центром I
вписана в прямоугольный треугольник ABC
и касается его катетов AB
и BC
в точках C_{0}
и A_{0}
соответственно. Перпендикуляр, опущенный из точки A_{0}
на прямую AI
, пересекает перпендикуляр, опущенный из точки C_{0}
на прямую CI
, в точке P
. Докажите, что прямые BP
и AC
перпендикулярны.
Решение. Пусть вписанная окружность касается гипотенузы в точке B_{0}
. Из перпендикулярности прямых B_{0}C_{0}
и AI
получаем, что A_{0}P
и B_{0}C_{0}
параллельны. Аналогично C_{0}P\parallel B_{0}A_{0}
, поэтому PA_{0}B_{0}C_{0}
— параллелограмм. Его центр — середина отрезков PB_{0}
и A_{0}C_{0}
, а также BI
, поскольку BA_{0}IC_{0}
— квадрат. Значит, отрезки PB_{0}
и BI
имеют общую середину, поэтому PBB_{0}I
— параллелограмм (возможно, вырожденный). Следовательно, PB\parallel IB_{0}
и BP\perp AC
, так как IB_{0}\perp AC
.
Автор: Швецов Д. В.
Источник: Грибалко А. В., Медников Л. Э., Шаповалов А. В. XIX—XX турниры математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2019. — № 294, с. 40