11778. В треугольнике ABC
проведена высота BH
. Вписанная окружность треугольника касается сторон AB
, BC
, CA
в точках C_{1}
, A_{1}
, B_{1}
соответственно. Докажите, что ортоцентры треугольников AC_{1}B_{1}
и CA_{1}B_{1}
, а также точки H
и B_{1}
лежат на одной окружности.
Решение. Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, H_{a}
и H_{c}
— ортоцентры треугольников AC_{1}B_{1}
и CA_{1}B_{1}
соответственно. Четырёхугольник IB_{1}H_{a}C_{1}
— ромб, так как IB_{1}\parallel C_{1}H_{a}
, IC_{1}\parallel B_{1}H_{a}
и IB_{1}=IC_{1}
. Аналогично, IB_{1}H_{c}A_{1}
— тоже ромб. Следовательно, при параллельном переносе на вектор \overrightarrow{B_{1}I}
точки B_{1}
, H_{a}
, H_{c}
переходят соответственно в I
, C_{1}
, A_{1}
, а точка H
переходит в точку K
— основание перпендикуляра, опущенного из I
на прямую BH
.
Из точек C_{1}
, A_{1}
и K
отрезок BI
виден под прямым углом, поэтому они лежат на окружности с диаметром BI
. Значит, точки H_{a}
, H_{c}
, H
и B_{1}
также лежат на одной окружности.
Автор: Швецов Д. В.
Источник: Летний турнир им. А. П. Савина «Математика 6—8». — 2014, XX, № 10
Источник: Журнал «Квант». — 2015, № 1, с. 31
Источник: Грибалко А. В., Медников Л. Э., Шаповалов А. В. XIX—XX турниры математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2019. — № 297, с. 40