11782. В треугольник ABC
вписана окружность с центром I
, которая касается сторон AB
, BC
, CA
в точках C_{1}
, A_{1}
, B_{1}
соответственно. Отрезки AI
, BI
, CI
пересекают окружность в точках A_{2}
, B_{2}
, C_{2}
. Докажите, что площадь треугольника A_{2}B_{2}C_{2}
равна половине площади шестиугольника B_{1}A_{2}C_{1}B_{2}A_{1}C_{2}
.
Решение. Первый способ. Из равенства прямоугольных треугольников AB_{1}I
и AC_{1}I
следует равенство центральных углов AIB_{1}
и AIC_{1}
, а значит, и равенство хорд A_{2}B_{1}=A_{2}C_{1}
. Аналогично,
B_{2}C_{1}=B_{2}A_{1},~C_{2}A_{1}=C_{2}B_{1}.
Заметим, что
\angle A_{2}C_{1}B_{2}=\frac{1}{2}(360^{\circ}-\angle BIC)=180^{\circ}-\frac{1}{2}\angle AIB.
Аналогично,
\angle B_{2}A_{1}C_{2}=180^{\circ}-\frac{1}{2}\angle BIC,~\angle C_{2}B_{1}A_{2}=180^{\circ}-\frac{1}{2}\angle AIC.
Значит,
\angle A_{2}C_{1}B_{2}+\angle B_{2}A_{1}C_{2}+\angle C_{2}B_{1}A_{2}=
=540^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle AIB+\angle BIC+\angle AIC)=540^{\circ}-\frac{1}{2}\cdot360^{\circ}=360^{\circ}.
Значит, из этих трёх треугольников можно сложить треугольник. По трём сторонам он равен треугольнику A_{2}B_{2}C_{2}
, откуда следует утверждение задачи.
Второй способ. Обозначим
\angle AIB_{1}=\angle AIC_{1}=\alpha,~\angle BIC_{1}=\angle BIA_{1}=\beta,~\angle CIA_{1}=\angle CIB_{1}=\gamma.
Тогда
\alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}.
Пусть r
— радиус вписанной окружности треугольника ABC
. Тогда
S_{\triangle A_{2}IB_{1}}=S_{\triangle A_{2}IC_{1}}=\frac{1}{2}r^{2}\sin\alpha,
S_{\triangle B_{2}IC_{1}}=S_{\triangle B_{2}IA_{1}}=\frac{1}{2}r^{2}\sin\beta,
S_{\triangle C_{2}IA_{1}}=S_{\triangle C_{2}IB_{1}}=\frac{1}{2}r^{2}\sin\gamma,
откуда
S_{B_{1}A_{2}C_{1}B_{2}A_{1}C_{2}}=r^{2}(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma).
Значит,
S_{\triangle A_{2}B_{2}C_{2}}=S_{\triangle A_{2}IB_{2}}+S_{\triangle B_{2}IC_{2}}+S_{\triangle C_{2}IA_{2}}=
=\frac{1}{2}r^{2}(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\beta+\gamma)+\sin(\gamma+\alpha)).
Но из равенства \alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}
следует, что
\sin(\alpha+\beta)=\sin\gamma,~\sin(\beta+\gamma)=\sin\alpha,~\sin(\gamma+\alpha)=\sin\beta.
Отсюда с учётом полученных выражений для сравниваемых площадей следует требуемый результат.
Автор: Произволов В. В.
Источник: Грибалко А. В., Медников Л. Э., Шаповалов А. В. XIX—XX турниры математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2019. — № 301, с. 41