11783. Фиксированная точка K
лежит на основании AB
трапеции ABDC
. Найдите на основании DC
точку M
, для которой площадь четырёхугольника, являющегося пересечением треугольников AMB
и CDK
, максимальна.
Ответ. Точка M
удовлетворяет условию \frac{CM}{MD}=\frac{AK}{KB}
.
Решение. Докажем, что для точки M
должно выполняться условие \frac{CM}{MD}=\frac{AK}{KB}
.
Пусть \frac{CM}{MD}=\frac{AK}{KB}
, отрезки CK
и AM
пересекаются в точке R
, а отрезки DK
и BM
— в точке X
. Докажем, что RX\parallel CD
.
Действительно,
\frac{KR}{RC}=\frac{AK}{CM}=\frac{KB}{MD}=\frac{KX}{XD}.
Значит, RX\parallel CD
.
Пусть N
— произвольная точка между M
и D
, а прямая RX
пересекает отрезки AN
и BN
в точках T
и Z
соответственно. Докажем, что RT=XZ
.
Действительно,
\frac{RT}{MB}=\frac{AR}{AM}=\frac{KR}{KC}=\frac{KX}{KD}=\frac{BX}{BM}=\frac{XZ}{MN}.
Значит, RT=XZ
.
Пусть отрезки CK
и AN
пересекаются в точке P
, отрезки DK
и BN
— в точке Y
, а отрезки AN
и BN
— в точке F
. Из доказанного выше получаем
S_{RTNM}=S_{XZNM}~\Rightarrow~S_{PFMR}\gt S_{XYNF}~\Rightarrow~S_{KXMR}\gt S_{KYNP}.
Аналогично для случая, когда точка N
между C
и M
. Следовательно, искомая точка M
удовлетворяет условию \frac{CM}{MD}=\frac{AK}{KB}
.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1984, № 5 задача J-7 (1980, с. 146), с. 145