11784. Дана трапеция ABCD
с основаниями AB
и CD
, в которой \angle ABC=65^{\circ}
, \angle ADC=130^{\circ}
. Биссектриса угла ADC
пересекает отрезок AB
в точке E
. Найдите среднюю линию трапеции, если AD=12
, BE=15
.
Ответ. 21.
Решение. Поскольку
\angle AED=\angle CDE=\angle ADE,
треугольник DAE
равнобедренный, AE=AD=12
. Кроме того,
\angle DAE=180^{\circ}-\angle ADC=180^{\circ}-130^{\circ}=50^{\circ},
\angle AED=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle DAE)=90^{\circ}-25^{\circ}=65^{\circ}=\angle CBE,
Значит, DE\parallel BC
, а так как BE\parallel CD
, то четырёхугольник BCDE
— параллелограмм, поэтому BE=CD=15
. Тогда
AB=AE+BE=12+15=27.
Следовательно, средняя линия трапеции равна
\frac{AB+CD}{2}=\frac{27+15}{2}=21.
Источник: Грибалко А. В., Медников Л. Э., Шаповалов А. В. XIX—XX турниры математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2019. — № 306, с. 42