11785. Дан прямой угол с вершиной O
и точка C
внутри него. Рассмотрим такой прямоугольник CDME
, что точки D
и E
лежат на сторонах угла. Найдите OM
, если диагональ прямоугольника равна 10, а \angle OMC=60^{\circ}
.
Ответ. 5.
Решение. Опишем окружность около прямоугольника ABCD
. Её диаметр DE
виден из точки O
под прямым углом, поэтому точка O
лежит на этой окружности. Отрезок CM
— также диаметр окружности, поэтому \angle COM=90^{\circ}
. В прямоугольном треугольнике COM
известна гипотенуза CM=10
и угол MOC
, равный 30^{\circ}
. Следовательно, лежащий против него катет OM
равен 5.
Источник: Грибалко А. В., Медников Л. Э., Шаповалов А. В. XIX—XX турниры математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2019. — № 307, с. 42