11786. Дан квадрат ABCD
. Проведены две окружности с центрами B
и D
и радиусами, равными стороне квадрата. На первой окружности взята точка K
вне квадрата. Прямые KA
и KC
пересекают вторую окружность в точках M
и N
. Докажите, что MN
— диаметр второй окружности.
Решение. Вписанный в первую окружность угол AKC
равен половине центрального угла ABC
, т. е.
\angle MKC=\angle AKC=45^{\circ}.
Аналогично, \angle KMC=45^{\circ}
. Значит,
\angle MCN=\angle MCK=180^{\circ}-45^{\circ}-45^{\circ}=90^{\circ}.
Значит,
\angle MCN=\angle MCK=90^{\circ}.
Следовательно, MN
— диаметр второй окружности. Что и требовалось доказать.
Автор: Бакаев Е. В.
Источник: Грибалко А. В., Медников Л. Э., Шаповалов А. В. XIX—XX турниры математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2019. — № 308, с. 42