11796. Через вершину A
треугольника ABC
проведена прямая l
, параллельная BC
. Симедиана треугольника, проведённая из вершины B
, повторно пересекает описанную окружность треугольника в точке D
. Прямая CD
пересекает прямую l
в точке E
, M
— середина AC
. Докажите, что углы ABC
и EMA
равны.
Решение. Поскольку
\angle DCA=\angle DBA=\angle CBM~\mbox{и}~\angle CAE=\angle ACB,
треугольники CAE
и BCM
подобны по двум углам.
Пусть N
— середина BC
. Отрезки EM
и MN
— медианы подобных треугольников, поэтому \angle EMA=\angle MNC
, а так как MN
— средняя линия треугольника ABC
, то \angle MNC=\angle ABC
. Следовательно, \angle EMA=\angle ABC
Источник: Грибалко А. В., Медников Л. Э., Шаповалов А. В. XIX—XX турниры математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2019. — № 320, с. 43