11798. Имеются два равных равносторонних треугольника, дающие в пересечении шестиугольник. Вне шестиугольника образуются шесть треугольников, которые занумерованы по часовой стрелке. Пусть R_{1}
, R_{2}
, …, R_{6}
— радиусы описанных окружностей этих треугольников. Докажите, что R_{1}+R_{3}+R_{5}=R_{2}+R_{4}+R_{6}
.
Решение. Каждые два соседних из шести упомянутых треугольников (а значит, и все шесть) подобны по двум углам. Поэтому вместо радиусов описанных окружностей можно рассматривать любые соответственные линейные элементы, например, соответственные стороны. Обозначим через A_{\mbox{ч}}
(A_{\mbox{н}}
) сумму тех сторон треугольников с (не)чётными номерами, которые лежат на периметре шестиугольника, а через B_{\mbox{ч}}
(B_{\mbox{н}}
) — сумму оставшихся сторон треугольников с (не)чётными номерами. Пусть A_{\mbox{ч}}=\alpha A_{\mbox{н}}
. Тогда из подобия следует, что B_{\mbox{ч}}=\alpha B_{\mbox{н}}
. Но
A_{\mbox{ч}}+B_{\mbox{н}}=A_{\mbox{н}}+B_{\mbox{ч}},
как периметры равных треугольников, откуда (\alpha-1)A_{\mbox{ч}}=(\alpha-1)B_{\mbox{н}}
. По неравенству треугольника A_{\mbox{н}}\lt B_{\mbox{н}}
, поэтому \alpha=1
, т. е. A_{\mbox{ч}}=A_{\mbox{н}}
. Что и требовалось доказать.
Автор: Произволов В. В.
Источник: Грибалко А. В., Медников Л. Э., Шаповалов А. В. XIX—XX турниры математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2019. — № 322, с. 44