11803. Точка M
— середина стороны BC
треугольника ABC
. Точки X
и Y
— середины дуг AB
и AC
описанных окружностей треугольников AMB
и AMC
, не содержащих точку M
. Докажите, что прямые XY
и AM
перпендикулярны.
Решение. При повороте вокруг точки X
, переводящем точку B
в точку A
, точка M
перейдёт в такую точку N
, что AN=BM
и XN=XM
. Кроме того, поскольку
\angle XAN+\angle XAM=\angle XBM+\angle XAM=180^{\circ},
точка N
лежит на продолжении медианы AM
.
Аналогично при повороте вокруг точки Y
, переводящем точку C
в точку A
, точка M
перейдёт в точку N
, так как CM=BM
. Точки X
и Y
лежат на серединном перпендикуляре к MN
, поэтому XY\perp AM
.