11805. В прямоугольном треугольнике центр вписанной окружности оказался равноудалён от вершины прямого угла и середины гипотенузы. Найдите острые углы этого треугольника.
Ответ. 30^{\circ}
, 60^{\circ}
.
Решение. Построим две точки, симметричные вершине прямого угла относительно биссектрис острых углов треугольника. Обе эти точки попадут на гипотенузу и будут удалены от центра вписанной окружности на такое же расстояние, что и вершина прямого угла. Других таких точек быть не может, поэтому одна из них совпадёт с серединой гипотенузы. Значит, один из катетов треугольника равен медиане, проведённой из вершины прямого угла, и поэтому — половине гипотенузы. Следовательно, один из острых углов треугольника равен 30^{\circ}
, а второй — 60^{\circ}
.
Источник: Грибалко А. В., Медников Л. Э., Шаповалов А. В. XIX—XX турниры математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2019. — № 332, с. 45