11806. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
прямые, симметричные диагонали BD
относительно биссектрис углов B
и D
, пересекаются в точке P
, расположенной внутри четырёхугольника. Докажите, что проекции точки P
на стороны четырёхугольника ABCD
или их продолжения являются вершинами равнобедренной трапеции или прямоугольника.
Решение. Пусть K
, L
, M
, N
— проекции точки P
на прямые AB
, BC
, CD
, DA
соответственно, а K'
, L'
, M'
, N'
— точки, симметричные точке P
относительно этих прямых. Тогда
BK'=BP=BL',\angle K'BD=\angle K'BA+\angle ABD=\angle ABP+\angle PBC=\angle ABC
и аналогично, \angle L'BD=\angle ABC
. Таким образом BD
— биссектриса угла K'BL'
, а прямая BD
— серединный перпендикуляр к отрезку K'L'
. Аналогично BD
— серединный перпендикуляр к отрезку M'N'
. Значит, четырёхугольник K'L'M'N'
— равнобедренная трапеция или прямоугольник. Четырёхугольник KLMN
гомотетичен четырёхугольнику K'L'M'N'
с центром P
и коэффициентом \frac{1}{2}
, следовательно, четырёхугольник KLMN
— тоже равнобедренная трапеция или прямоугольник..