11807. Через точку P
внутри треугольника ABC
и каждую из его вершин провели прямую. Они разделили треугольник на шесть треугольников, которые раскрасили в белый и чёрный цвета через один. Докажите, что сумма площадей трёх белых треугольников равна сумме площадей трёх чёрных тогда и только тогда, когда точка P
лежит на одной из медиан треугольника ABC
.
Решение. Пусть прямые AP
, BP
и CP
пересекают стороны треугольника в точках A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
соответственно. Обозначим
S_{\triangle ABC}=S,~S_{\triangle APC_{1}}=\alpha,~S_{\triangle APB_{1}}=x,~S_{\triangle BPA_{1}}=\beta,~S_{\triangle BPC_{1}}=y,~
S_{\triangle BPC_{1}}=y,~S_{\triangle CPB_{1}}=\gamma,~S_{\triangle CPA_{1}}=z,
причём треугольники с площадями \alpha
, \beta
и \gamma
— белые, а треугольники с площадями x
, y
и z
— чёрные.
Предположим, что AA_{1}
— медиана треугольника ABC
. Тогда \alpha+y=\gamma+x
. Кроме того, по теореме Чевы
1=\frac{AC_{1}}{C_{1}B}\cdot\frac{BA_{1}}{A_{1}C}\cdot\frac{CB_{1}}{B_{1}A}=\frac{\alpha}{y}\cdot\frac{\beta}{z}\cdot\frac{\gamma}{x}=\frac{\alpha}{y}\cdot\frac{\gamma}{x},
откуда \alpha\gamma=xy
. Из системы
\syst{\alpha+y=\gamma+x\\\alpha\gamma=xy\\}
получаем, что либо \alpha=x
и \beta=y
, либо \alpha=y
и \beta=x
. В обоих случаях
\alpha+\beta+\gamma=x+y+z.
Что и требовалось доказать.
Обратно, пусть
\alpha+\beta+\gamma=x+y+z.
Докажем, что точка P
лежит на одной из медиан треугольника ABC
. Положим
\frac{BA_{1}}{A_{1}C}=\frac{1+a}{1-a},~\frac{CB_{1}}{B_{1}A}=\frac{1+b}{1-b}~\frac{AC_{1}}{C_{1}C}=\frac{1+c}{1-c}.
Из теоремы Чевы следует, что
(1+a)(1+b)(1+c)=(1-a)(1-b)(1-c).
После раскрытия скобок и приведения подобных получим равенство a+b+c+abc=0
. Заметим, что
\alpha+y+\beta=S_{\triangle ABA_{1}}=\frac{1+a}{1+a+1-a}S=\frac{1+a}{2}\cdot S,~
\beta+z+\gamma=S_{\triangle BCB_{1}}=\frac{1+b}{2}\cdot S,~
\alpha+x+\gamma=S_{\triangle CAC_{1}}=\frac{1+c}{2}\cdot S,~
S_{\triangle ABA_{1}}+S_{\triangle BCB_{1}}+S_{\triangle CAC_{1}}=S+\alpha+\beta+\gamma.
Таким образом,
\alpha+\beta+\gamma=x+y+z~\Leftrightarrow~\alpha+\beta+\gamma=\frac{1}{2}S~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~\frac{1+a}{2}\cdot S+\frac{1+b}{2}\cdot S+\frac{1+b}{2}\cdot S=S+\frac{1}{2}S~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~\frac{1+a}{2}+\frac{1+b}{2}+\frac{1+b}{2}=\frac{3}{2}~\Leftrightarrow~a+b+c=0.
Учитывая равенство a+b+c+abc=0
, получаем
\alpha+\beta+\gamma=x+y+z~\Leftrightarrow~abc=0.
Последнее равенство означает, что одно из чисел a
, b
, c
равно нулю, т. е. либо A_{1}
, либо B_{1}
, либо C_{1}
— середина стороны треугольника ABC
. Следовательно, соответствующий отрезок (чевиана) является медианой.