11811. На диагонали AC
ромба ABCD
построен параллелограмм APQC
так, что точка B
лежит внутри него, а сторона AP
равна стороне ромба. Докажите, что B
— точка пересечения высот треугольника DPQ
.
Решение. Построим ромб APXB
. Тогда BX=AP=BC=CQ
и BX\parallel AP\parallel CQ
, поэтому четырёхугольник CBXQ
— тоже ромб, а AD\parallel BC\parallel XQ
и AD=BC=XQ
, поэтому ADQX
— параллелограмм. Тогда PB\perp AX\parallel DQ
, значит, прямая PB
содержит высоту треугольника DPQ
. Аналогично, прямая QB
содержит высоту треугольника DPQ
. Следовательно, B
— точка пересечения высот треугольника DPQ
(см. задачу 1256). Что и требовалось доказать.