11817. а) Две окружности одинакового радиуса 5 пересекаются в точках A
и B
. На первой окружности выбрана точка C
, а на второй — точка D
. Оказалось, что точка B
лежит на отрезке CD
, а \angle CAD=90^{\circ}
. На перпендикуляре к CD
, проходящем через точку B
, выбрана точка F
так, что BF=BD
(точки A
и F
расположены по разные стороны от прямой CD
). Найдите длину отрезка CF
.
б) Пусть дополнительно известно, что BC=6
. Найдите площадь треугольника ACF
.
Ответ. а) 10; б) 49.
Решение. а) Пусть R
— радиус данных окружностей (R=5
). Обозначим \angle BAD=\alpha
. Тогда \angle BAC=90^{\circ}-\alpha
. По теореме синусов
BD=2R\sin\angle BAD=2R\sin\alpha,
BC=2R\sin\angle BAC=2R\sin(90^{\circ}-\alpha)=2R\cos\alpha.
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника BCF
находим, что
CF^{2}=BC^{2}+BF^{2}=BC^{2}+BD^{2}=4R^{2}\cos^{2}\alpha+4R^{2}\sin^{2}\alpha=4R^{2}.
Следовательно, CF=2r=10
.
б) Острые углы ADC
и ACD
вписаны в равные окружности и опираются на общую хорду AB
, поэтому они равны. Тогда
\angle ADC=\angle ACD=45^{\circ}.
Значит, треугольник CAD
, как и треугольник BDF
, — прямоугольный и равнобедренный. Тогда, поскольку \angle BDF=\angle ACD=45^{\circ}
, прямые DF
и AC
параллельны. Значит, высота треугольника ACF
, проведённая из вершины F
, равна перпендикуляру DA
к прямой AC
.
По теореме о внешнем угле треугольника \angle ABC=45^{\circ}+\alpha
. По теореме синусов
AC=2R\sin(45^{\circ}+\alpha),~6=BC=2R\cos\alpha=10\cos\alpha,
откуда \cos\alpha=\frac{3}{5}
. Тогда \sin\alpha=\frac{4}{5}
. Следовательно,
S_{\triangle ACF}=\frac{1}{2}AC\cdot DA=\frac{1}{2}AC^{2}=\frac{1}{2}\cdot(2R(\sin(45^{\circ}+\alpha))^{2}=
=2R^{2}\cdot\frac{1}{2}(\cos\alpha+\sin\alpha)^{2}=R^{2}\left(\frac{3}{5}+\frac{4}{5}\right)^{2}=25\cdot\frac{49}{25}=49.