11818. а) Две параллельные прямые l_{1}
и l_{2}
касаются окружности \omega_{1}
с центром O_{1}
точках A
и B
соответственно. Окружность \omega_{2}
с центром O_{2}
касается прямой l_{1}
в точке D
, пересекает прямую l_{2}
в точках B
и E
, а также вторично пересекает окружность \omega_{1}
в точке C
(при этом точка O_{2}
лежит между прямыми l_{1}
и l_{2}
). Известно, что отношение площади четырёхугольника BO_{1}CO_{2}
к площади треугольника O_{2}BE
равно 2. Найдите отношение радиусов окружностей \omega_{2}
и \omega_{1}
.
б) Найдите эти радиусы, если дополнительно известно, что BD=2
.
Ответ. а) 3:2
; б) \sqrt{\frac{2}{3}}
, \sqrt{\frac{3}{2}}
.
Решение. а) Пусть R_{1}
и _{2}
— радиусы окружностей \omega_{1}
и \omega_{2}
соответственно, \angle O_{1}BO_{2}=\alpha
, а прямые O_{2}D
и l_{2}
пересекаются в точке P
. Тогда O_{2}P\parallel O_{1}B
как перпендикуляры к параллельным прямым, поэтому \angle BO_{2}P=\alpha
. Треугольники BO_{1}O_{2}
и CO_{1}O_{2}
равны по трём сторонам, поэтому
S_{BO_{1}CO_{2}}=2S_{\triangle O_{1}BO_{2}}=2\cdot\frac{1}{2}BO_{1}\cdot BO_{2}\sin\alpha=R_{1}R_{2}\sin\alpha.
В то же время,
S_{\triangle BO_{2}E}=\frac{1}{2}O_{2}P\cdot BE=\frac{1}{2}R_{2}\cos\alpha\cdot2R_{2}\sin\alpha=R_{2}^{2}\sin\alpha\cos\alpha.
Значит,
\frac{S_{BO_{1}CO_{2}}}{S_{\triangle BO_{2}E}}=\frac{R_{1}R_{2}\sin\alpha}{R_{2}^{2}\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{R_{1}}{R_{2}\cos\alpha},
т. е. \frac{1}{2}R_{1}=R_{2}\cos\alpha
, а так как AB=DP
, то
2R_{1}=R_{2}+R_{2}\cos\alpha=R_{2}+\frac{1}{2}R_{1}.
Следовательно, \frac{R_{2}}{R_{1}}=\frac{3}{2}
.
б) Из прямоугольного треугольника ABD
получаем
BD_{2}=AB^{2}+AD^{2}=4R_{1}^{2}+BP^{2}=4R_{1}^{2}+(O_{2}B^{2}-O_{2}P^{2})^{2}=
=4R_{1}^{2}+R_{2}^{2}-(2R_{1}-R_{2})^{2}=4R_{1}R_{1}.
Из системы
\syst{\frac{R_{2}}{R_{1}}=\frac{3}{2}\\4R_{1}R_{1}\\}
находим, что
R_{1}=\sqrt{\frac{2}{3}},~R_{2}=\sqrt{\frac{3}{2}}.