11819. В данный прямоугольник ABCD
впишите прямоугольный равнобедренный треугольник AMN
с прямым углом N
так, чтобы вершины M
и N
лежали на сторонах соответственно BC
и CD
.
Найдите площадь четырёхугольника ABMN
, если BC=b
.
При каком условии задача разрешима?
Ответ. Задача разрешима тогда и только тогда, когда CN\lt a
и CM\lt b
, или b\lt a\lt2b
, где AB=a
и BC=b
; S_{ABMN}=b^{2}
.
Решение. Предположим что требуемые точки M
и N
построены. Обозначим \angle AND=\alpha
. Тогда
\angle MNC=180^{\circ}-90^{\circ}-\angle\alpha=90^{\circ}-\alpha,
поэтому \angle NMC=\alpha
, а так как AN=MN
, то прямоугольные треугольники NMC
и AND
равны по гипотенузе и острому углу. Значит, NC=AD
.
Отсюда вытекает следующее построение. На луче CD
откладываем отрезок CN=AD
. Предположим, что точка N
оказалась на стороне CD
. С центром в точке N
строим окружность радиуса, равного стороне AD
. Если одна из точек пересечения этой окружности с прямой BC
(назовём её M
) окажется на отрезке BC
, то AMN
— искомый треугольник.
Действительно, прямоугольные треугольники NMC
и AND
равны по гипотенузе (AN=NM
) и катету (NC=AD
), значит, если \angle AND=\alpha
, то \angle MNC=90^{\circ}-\alpha
, поэтому \angle ANM=90^{\circ}
. Следовательно, треугольник ANM
прямоугольный и равнобедренный. Что и требовалось доказать.
Пусть CD=AB=a
. Построение возможно тогда и только тогда, когда CN\lt a
и CM\lt b
, или b\lt a
и a-b\lt b
, т. е. когда b\lt a\lt2b
.
Поскольку
CM=DN=CD-CN=a-b,~
то
S_{\triangle AND}=S_{\triangle NMC}=\frac{1}{2}CN\cdot MC=\frac{1}{2}b(a-b).
Следовательно,
S_{ABMN}=S_{ABCD}-S_{\triangle AND}-S_{\triangle NMC}=ab-2\cdot\frac{1}{2}b(a-b)=b^{2}.