11820. В квадрат ABCD
вписана окружность. Касательная к окружности пересекает стороны BC
и CD
в точках M
и N
соответственно. Докажите, что площадь треугольника AMN
равна четверти площади квадрата.
Решение. Первый способ. Пусть AB=a
, CN=x
, CM=y
, а окружность касается сторон BC
и CD
квадрата в точках K
и L
соответственно. Тогда
LN=CL-CN=\frac{a}{2}-x,~KM=CK-CM=\frac{a}{2}-y,
MN=NL+MK=a-(x+y).
По теореме Пифагора
MN^{2}=CN^{2}+CM^{2},~\mbox{или}~(a-(x+y))^{2}=x^{2}+y^{2},
откуда
a(x+y)=\frac{1}{2}(a^{2}+2xy).
Пусть сумма площадей треугольников ADN
, ABM
и MCN
равна S
. Тогда
S=\frac{1}{2}a(a-x)+\frac{1}{2}a(a-y)+\frac{1}{2}xy=a^{2}-\frac{1}{2}a(x+y)+\frac{1}{2}xy=
=a^{2}-\frac{1}{4}(a^{2}+2xy)+\frac{1}{2}xy=\frac{3}{4}a^{2}.
Следовательно,
S_{\triangle AMN}=a^{2}-S=a^{2}-\frac{3}{4}a^{2}=\frac{1}{4}a^{2}.
Что и требовалось доказать.
Второй способ. Заметим, что окружность, вписанная в квадрат, — это вневписанная окружность треугольника MCN
. Пусть O
— её центр, а OH
— радиус, проведённый в точку касания со стороной MN
. Докажем, что треугольник AMN
равновелик квадрату OKCL
площадь которого равна четверти исходного квадрата.
Треугольник OLN
равен треугольнику OHN
, а треугольник OKM
— треугольнику OHM
. Значит, площадь треугольника MON
равна сумме площадей треугольников OLN
и OKM
. В то же время, поскольку NO
и MO
— медианы треугольников ANC
и AMC
, сумма площадей треугольников ONC
и OMC
равна равна сумме площадей треугольников AON
и AOM
. Отсюда следует доказываемое утверждение.