11821. Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD
перпендикулярны и равны. Найдите его углы, если AB=1
, BC=\sqrt{2}
, CD=\sqrt{3}
.
Ответ. 105^{\circ}
, 105^{\circ}
, 75^{\circ}
, 75^{\circ}
.
Решение. Диагонали четырёхугольника перпендикулярны, значит, суммы квадратов его противоположных сторон равны (см. задачу 1344), т. е. AB^{2}+CD^{2}=AD^{2}+BC^{2}
, откуда
AD^{2}=AB^{2}+CD^{2}-BC^{2}=1+3-2=2.
Значит, AD=\sqrt{2}
.
Через вершины A
и C
проведём прямые, параллельные диагонали BD
. На этих прямых от точек A
и C
отложим отрезки AA_{1}
и CC_{1}
, равные BD
так, чтобы точки A_{1}
, C_{1}
и D
лежали по одну сторону от прямой AC
. Поскольку AC=BD
и AC\parallel BD
, четырёхугольник ACC_{1}A_{1}
— квадрат, со стороной, равной диагонали данного четырёхугольника.
Четырёхугольник BCC_{1}D
— параллелограмм, так как CC_{1}=BD
и CC_{1}\parallel BD
. Значит, DC_{1}=BC=\sqrt{2}=DA
, т. е. точка D
равноудалена от концов отрезка AC_{1}
, а значит, лежит на диагонали CA_{1}
. Тогда \angle DA_{1}C_{1}=45^{\circ}
.
По теореме синусов \frac{DC_{1}}{\sin45^{\circ}}=\frac{DA_{1}}{\sin\angle DC_{1}A_{1}}
, откуда
\sin\angle DC_{1}A_{1}=\frac{DA_{1}\sin45^{\circ}}{DC_{1}}=\frac{1\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2},
а так как угол DC_{1}A_{1}
острый, то он равен 30^{\circ}
. Значит,
\angle ABC=\angle DC_{1}A_{1}=180^{\circ}-45^{\circ}-30^{\circ}=105^{\circ}.
Треугольники ABD
и ABC
равны по трём сторонам, поэтому
\angle BAD=\angle ABC=105^{\circ}.
Из равенства треугольников ABD
и ABC
вытекает равенство их высот, проведённых из вершин D
и C
, поэтому CD\parallel AB
. Следовательно,
\angle ADC=\angle BCD=180^{\circ}-105^{\circ}=75^{\circ}.