11836. В окружность радиуса R
вписан треугольник ABC
. Расстояния от вершин A
и B
до прямой, касающейся окружности в точке C
, равны соответственно m
и n
. Найдите стороны AC
и BC
.
Ответ. \sqrt{2Rm}
; \sqrt{2Rn}
.
Решение. Первый способ. Пусть P
— проекция точки B
на касательную. Проведём диаметр CD
. Тогда \angle CBD=90^{\circ}
, а по теореме об угле между касательной и хордой \angle BCP=\angle BDC
. Значит, прямоугольные треугольники BPC
и CBD
подобны. Тогда
\frac{BP}{BC}=\frac{BC}{CD},~\mbox{или}~\frac{n}{BC}=\frac{BC}{2R},
откуда BC^{2}=2Rn
. Следовательно, BC=\sqrt{2Rn}
. Аналогично, AC=\sqrt{2Rm}
.
Второй способ. Пусть P
и Q
— проекции точек соответственно B
и A
на касательную. Обозначим
\angle BCP=\angle BAC=\alpha,~\angle ACQ=\angle ABC=\beta.
Тогда
\sin\alpha=\frac{BP}{BC}=\frac{n}{BC},~\sin\beta=\frac{AQ}{AC}=\frac{m}{AC},
а так как по теореме синусов
BC=2R\sin\alpha=2R\cdot\frac{n}{BC},~AC=2R\sin\beta=2R\cdot\frac{m}{AC},
то
BC^{2}=2Rn,~AC^{2}=2Rm.
Следовательно,
BC=\sqrt{2Rn},~AC=\sqrt{2Rm}.