11837. Около окружности радиуса R
описана прямоугольная трапеция с острым углом \beta
. Найдите площадь трапеции.
Ответ. 2R^{2}\left(1+\frac{1}{\sin\beta}\right)
.
Решение. Пусть углы A
и D
трапеции ABCD
с основаниями AD
и BC
равны 90^{\circ}
и \beta
соответственно, CH
— высота трапеции. Тогда
CH=AB=2R,~CD=\frac{CH}{\sin\beta}=\frac{2R}{\sin\beta},
а так как в трапецию вписана окружность, то BC+AD=AB+CD
. Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot CH=\frac{AB+CD}{2}\cdot CH=
=\frac{2R+\frac{2R}{\sin\beta}}{2}\cdot2R=2R^{2}\left(1+\frac{1}{\sin\beta}\right).