11838. Ортоцентр H
треугольника ABC
делит высоту CC_{1}
пополам. Докажите, что \tg A\cdot\tg B=2
.
Решение. Заметим, что точка C_{1}
не может лежать вне отрезка AB
, так как в противном случае один из углов при вершинах B
и C
был бы тупым, а тогда высота, проведённая из вершины этого угла, не могла бы пройти через середину отрезка CC_{1}
.
Обозначим \angle BAC=\alpha
, \angle ABC=\beta
. Тогда \angle BAA_{1}=90^{\circ}-\beta
. Из прямоугольных треугольников AC_{1}C
и AC_{1}H
получаем
AC_{1}=CC_{1}\ctg\alpha,~AC_{1}=HC_{1}\ctg(90^{\circ}-\beta)=HC_{1}\tg\beta,
а так как CC_{1}=2HC_{1}
, то из равенства CC_{1}\ctg\alpha=HC_{1}\tg\beta
следует, что 2\ctg\alpha=\tg\beta
, или \tg\alpha\tg\beta=2
.