11839. Медиана AA_{1}
, биссектриса BB_{1}
и высота CC_{1}
треугольника ABC
пересекаются в одной точке, которая делит высоту CC_{1}
в отношении 3:1
, считая от вершины C
. Докажите, что медиана AA_{1}
и биссектриса BB_{1}
перпендикулярны.
Решение. Пусть P
— точка пересечения отрезков AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
. Опустим перпендикуляр A_{1}M
на высоту CC_{1}
. По теореме Фалеса точка M
— середина CC_{1}
, а так как CP=3PC_{1}
, то P
— середина MC_{1}
(C_{1}P=\frac{1}{4}CC_{1}
, а C_{1}M=\frac{1}{2}CC_{1}
).
Из равенства прямоугольных треугольников A_{1}MP
и AC_{1}P
следует, что PA_{1}=PA
. Тогда биссектриса BP
треугольника ABA_{1}
является его высотой. Значит, этот треугольник равнобедренный с основанием AA_{1}
, поэтому BP
— его высота. Следовательно, BB_{1}\perp AA_{1}
. Что и требовалось доказать.