1184. Докажите, что биссектрисы равностороннего треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1
, считая от вершины треугольника.
Указание. Пусть биссектрисы AM
и BN
равностороннего треугольника ABC
пересекаются в точке O
. Рассмотрите прямоугольный треугольник OAN
.
Решение. Пусть биссектрисы AM
и BN
равностороннего треугольника ABC
пересекаются в точке O
. Поскольку BN\perp AC
и \angle OAN=30^{\circ}
, а прямоугольные треугольники BOM
и AON
равны по катету (BM=AN
) и острому углу, то OM=ON=\frac{1}{2}AO
. Аналогично для остальных биссектрис.