11842. В окружность вписан треугольник ABC
. Расстояния от вершин A
и B
до касательной к окружности в точке C
равны соответственно m
и n
. Найдите высоту CH
треугольника ABC
.
Ответ. \sqrt{mn}
.
Решение. Пусть радиус окружности равен R
, \angle BAC=\alpha
, \angle ABC=\beta
, AP=m
и BQ=n
— перпендикуляры к касательной к окружности в точке C
.
Проведём диаметр CD
. Тогда \angle CBD=90^{\circ}
. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle BCQ=\angle BDC=\alpha.
Прямоугольные треугольники BCQ
и CDB
подобны, поэтому \frac{BQ}{BC}=\frac{BC}{CD}
, откуда
BC^{2}=CD\cdot BQ=2Rn~\Rightarrow~BC=\sqrt{2Rn}.
Аналогично, AC=\sqrt{2Rm}
, а так как \angle ADC=\angle ABC=\beta
, то
\sin\beta=\frac{AC}{CD}=\frac{\sqrt{2Rm}}{2R}.
Из прямоугольного треугольника BHC
находим, что
CH=BC\sin\beta=\sqrt{2Rn}\cdot\frac{\sqrt{2Rm}}{2R}=\sqrt{mn}.