11843. Дан четырёхугольник ABCD
, в котором \angle A=60^{\circ}
, \angle B=40^{\circ}
, \angle C=120^{\circ}
и CD=AD
. Докажите, что BC+CD=AB
.
Решение. Сумма противоположных углов при вершинах A
и C
данного четырёхугольника равна 180^{\circ}
, поэтому сумма двух других его углов тоже равна 180^{\circ}
. Тогда
\angle CDA=180^{\circ}-\angle ABC=180^{\circ}-40^{\circ}=140^{\circ}.
На луче AB
отложим отрезок SK=AD
. Один из углов равнобедренного треугольника ADK
равен 60^{\circ}
, значит, этот треугольник равносторонний. Тогда
AK=AD=DK=CD,
поэтому треугольник CDK
равнобедренный с основанием CK
, а так как
\angle CDK=\angle CDA-\angle KDA=140^{\circ}-\angle60^{\circ}=80^{\circ},
то
\angle DCK=\angle DKC=\frac{1}{2}(180^{\circ}-80^{\circ})=50^{\circ},
откуда получаем, что
\angle BKC=180^{\circ}-50^{\circ}-60^{\circ}=70^{\circ},
\angle BCK=120^{\circ}-50^{\circ}=70^{\circ}=\angle BKC.
Значит, треугольник BCK
тоже равнобедренный, BK=BC
.
Таким образом, AK=AD
и BK=BC
. Следовательно,
BC+CD=BK+AK=AB.
Что и требовалось доказать.