11847. В окружность радиуса R
вписан правильный десятиугольник A_{1}A_{2}\dots A_{10}
. Докажите, что A_{1}A_{4}-A_{1}A_{2}=R
.
Решение. Вершины правильного десятиугольника разбивают его описанную окружность на десять равных дуг по 36^{\circ}
, поэтому A_{2}A_{7}
— диаметр описанной окружности.
Пусть O
— центр окружности, а K
— точка пересечения диагоналей A_{1}A_{4}
и A_{2}A_{7}
. Тогда
\angle A_{1}A_{1}K=\angle A_{1}A_{2}A_{7}=\frac{1}{2}\cdot4\cdot36^{\circ}=72^{\circ},
\angle A_{2}A_{1}K=\angle A_{2}A_{1}A_{4}=\frac{1}{2}\cdot2\cdot36^{\circ}=36^{\circ}.
Значит,
\angle A_{1}KA_{2}=180^{\circ}-72^{\circ}-36^{\circ}=72^{\circ}=\angle A_{1}A_{2}K,
поэтому треугольник A_{1}A_{2}K
равнобедренный, A_{1}K=A_{1}A_{2}
.
В то же время,
\angle KA_{4}O=\angle A_{1}A_{4}A_{9}=36^{\circ},~\angle A_{4}KO=\angle A_{1}KA_{2}=72^{\circ},
поэтому
\angle KOA_{4}=180^{\circ}-36^{\circ}-72^{\circ}=72^{\circ}=\angle A_{4}KO.
Значит, треугольник KOA_{4}
тоже равнобедренный, KA_{4}=OA_{4}=R
. Следовательно,
A_{1}A_{4}-A_{1}A_{2}=A_{1}A_{4}-A_{1}K=KA_{4}=R.
Что и требовалось доказать.