11848. Докажите, что для всякого прямоугольного треугольника с катетами a
, b
и гипотенузой c
верно неравенство a+b\leqslant c\sqrt{2}
.
Решение. Для любых чисел a
и b
верно равенство
(a+b)^{2}+(a-b)^{2}=2(a^{2}+b^{2}).
По теореме Пифагора a^{2}+b^{2}=c^{2}
, поэтому
(a+b)^{2}\leqslant2(a^{2}+b^{2})=2c^{2}.
Следовательно, a+b\leqslant c\sqrt{2}
, причём равенство достигается только при a=b
.