1185. В треугольнике ABC
угол A
равен 60^{\circ}
, а биссектриса угла A
, медиана, проведённая из вершины B
, и высота, проведённая из вершины C
, пересекаются в одной точке. Найдите остальные углы треугольника.
Ответ. 60^{\circ}
, 60^{\circ}
.
Указание. Докажите равенство треугольников ANO
и ALO
и воспользуйтесь признаком равнобедренного треугольника.
Решение. Пусть биссектриса AM
, медиана BN
и высота CL
треугольника ABC
пересекаются в точке O
. В прямоугольном треугольнике ALC
катет AL
лежит против угла ACL
, равного 30^{\circ}
, поэтому AC=2AL
, а так как N
— середина AC
, то AN=\frac{1}{2}AC=AL
. Значит, треугольник ANO
равен прямоугольному треугольнику ALO
. Поэтому BN
— высота треугольника ABC
, а так как BN
— медиана, то треугольник ABC
— равнобедренный. Его угол при основании AC
равен 60^{\circ}
. Следовательно, треугольник ABC
— равносторонний.