11858. Дан треугольник ABC
. Точка M_{1}
симметрична точке M
относительно вершины A
, точка M_{2}
симметрична M_{1}
относительно вершины B
, точка M_{3}
симметрична точке M_{2}
относительно вершины C
. Докажите, что положение середины D
отрезка MM_{3}
не зависит от выбора точки M
.
Решение. Отрезки AD
и BC
— средние линии треугольников M_{1}MM_{3}
и M_{1}M_{2}M_{3}
соответственно, поэтому
AD=\frac{1}{2}M_{1}M_{3}=BC,~AD\parallel M_{1}M_{3}\parallel BC.
Значит, ABCD
— параллелограмм, а точка D
— четвёртая вершина этого параллелограмма. Следовательно, её положение зависит только от точек A
, B
и C
.