11859. Дан ромб ABCD
с углом 120^{\circ}
при вершине A
. Внутри ромба взята точка M
, для которой AM=1
, CM=2
и BM=3
. Найдите DM
и AB
.
Ответ. DM=\sqrt{3}
, AB=\sqrt{7}
.
Решение. Треугольники ABC
и ACD
равносторонние, поэтому при повороте на угол 60^{\circ}
вокруг вершины A
, переводящем вершину B
в C
, вершина C
переходит в D
. Пусть при этом повороте точка M
переходит в точку M_{1}
. Тогда отрезок переходит в отрезок CM_{1}
, отрезок CM
— в отрезок DM_{1}
, а треугольник AMM_{1}
равносторонний. Поскольку
OM+MM_{1}=2+1=3=CM_{1},
точка M
лежит на отрезке DM_{1}
, а так как \angle AM_{1}C=60^{\circ}
, то по теореме косинусов
AB=AC=\sqrt{M_{1}A^{2}+M_{1}C^{2}-2M_{1}A\cdot M_{1}C\cos60^{\circ}}=\sqrt{1+9-2\cdot1\cdot3\cdot\frac{1}{2}}=\sqrt{7}.
Поскольку \angle AM_{1}C=60^{\circ}=\angle ADC
, точка M_{1}
лежит на описанной окружности треугольника ADC
, поэтому
\angle MM_{1}D=\angle CM_{1}D=\angle CAD=60^{\circ}.
Следовательно,
DM=\sqrt{M_{1}M^{2}+M_{1}D^{2}-2M_{1}M\cdot M_{1}D\cos60^{\circ}}=\sqrt{1+4-2\cdot1\cdot2\cdot\frac{1}{2}}=\sqrt{3}.