1186. Дана незамкнутая ломаная ABCD
, причём AB=CD
, \angle ABC=\angle BCD
и точки A
и D
расположены по одну сторону от прямой BC
. Докажите, что AD\parallel BC
.
Указание. Пусть AC
и BD
пересекаются в точке O
. Докажите равенство углов при общей вершине O
равнобедренных треугольников AOD
и BOC
.
Решение. Пусть AC
и BD
пересекаются в точке O
. Треугольники ABC
и DCB
равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому \angle BAC=\angle BDC
, а так как \angle AOB=\angle DOC
, то \angle ABO=\angle DCO
. Значит, равны треугольники AOB
и DOC
(по стороне и двум прилежащим к ней углам), поэтому AO=DO
и BO=CO
Углы при общей вершине O
равнобедренных треугольников AOD
и BOC
равны, поэтому равны и углы при их основаниях:\angle ACB=\angle CAD
. Следовательно, AD\parallel BC
.