11860. Дан прямоугольник ABCD
. На стороне CD
постройте такую точку M
, чтобы прямые MA
и MB
разбили прямоугольник на три подобных треугольника.
Решение. Пусть CD\geqslant BC
. На стороне AB
как на диаметре построим окружность. Она имеет со стороной CD
одну или две общие точки. Пусть M
— одна из них. Докажем, что треугольники AMB
, BCM
и MDA
подобны.
Действительно, точка M
лежит на окружности с диаметром AB
, поэтому
\angle AMB=90^{\circ}=\angle BCM=\angle MDA.
Обозначим \angle BAM=\alpha
. Тогда
\angle AMD=\angle BAM=\alpha,~\angle MBC=90^{\circ}-\angle BMC=\angle AMD=\alpha.
Следовательно, прямоугольные треугольники AMB
, BCM
и MDA
подобны по двум углам.
Если CD\gt BC
, задача имеет два решения. Если CD=BC
— одно. Если же CD\lt AB
— решений нет.