11862. Внутри треугольника ABC
взята произвольная точка M
. Найдите периметр треугольника, вершины которого — точки пересечения медиан треугольников ABM
, BCM
и ACM
, если периметр треугольника ABC
равен 2p
Ответ. \frac{2}{3}p
.
Решение. Пусть D
и E
— середины отрезков BM
и CM
соответственно, а M_{1}
и M_{3}
— точки пересечения медиан треугольников соответственно ABM
и CBM
. Тогда DE
— средняя линия треугольника BMC
, а так как \frac{AM_{1}}{AD}=\frac{AM_{3}}{AE}=\frac{2}{3}
, то треугольник M_{1}AM_{3}
подобен треугольнику DAE
с коэффициентом \frac{2}{3}
. Значит,
M_{1}M_{3}=\frac{2}{3}DE=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}BC=\frac{1}{3}BC.
Если M_{2}
— точка пересечения медиан треугольника BCM
, то аналогично получим, что
M_{1}M_{2}=\frac{1}{3}AC,~M_{2}M_{3}=\frac{1}{3}AB.
Следовательно,
M_{1}M_{3}+M_{1}M_{2}+M_{2}M_{3}=\frac{1}{3}BC+\frac{1}{3}AC+\frac{1}{3}AB=
=\frac{1}{3}(BC+AC+AB)=\frac{1}{3}\cdot2p=\frac{2}{3}p.
Источник: Готман Э. Г. Задачи по планиметрии и методы их решения. — М.: Просвещение, 1996. — № 85, с. 28