11863. В треугольник ABC
вписан параллелограмм CDEF
, причём вершины D
, E
и F
лежат соответственно на сторонах CA
, AB
и BC
. Отрезки AF
и DE
пересекаются в точке P
, а отрезки BD
и EF
— в точке Q
. Докажите, что PQ\parallel AB
.
Решение. Достаточно доказать, что \frac{AP}{PF}=\frac{EQ}{QF}
.
Из параллельности EF
и AD
следует подобие треугольников DPA
и EPF
, поэтому \frac{AP}{PF}=\frac{DP}{PE}
.
Из параллельности DE
и BF
следует подобие треугольников DQE
и BQF
, поэтому
\frac{EQ}{QF}=\frac{DE}{BF}=\frac{CF}{BF}=\frac{DP}{PE}.
Следовательно, \frac{AP}{PF}=\frac{EQ}{QF}
. Что и требовалось.
Источник: Готман Э. Г. Задачи по планиметрии и методы их решения. — М.: Просвещение, 1996. — № 89, с. 28