11864. Отрезок H_{1}H_{2}
, соединяющий основания H_{1}
и H_{2}
высот AH_{1}
и BH_{2}
треугольника ABC
, виден из середины M
стороны AB
под прямым углом. Найдите угол при вершине C
треугольника ABC
.
Ответ. 45^{\circ}
или 135^{\circ}
.
Решение. Ясно, что треугольник ABC
не может быть прямоугольным. Обозначим \angle ACB=\gamma
.
Пусть треугольник ABC
остроугольный. Тогда точки H_{1}
и H_{2}
лежат на сторонах треугольника, а не на их продолжениях. Из точек H_{1}
и H_{2}
отрезок AB
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AB
, причём точка M
— центр этой окружности, H_{1}MH_{2}
— центральный угол, а H_{2}AH_{1}
— соответствующий вписанный. Следовательно,
\gamma=90^{\circ}-\angle CAH_{1}=90^{\circ}-\angle H_{2}HH_{1}=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle H_{1}MH_{2}=90^{\circ}-\frac{1}{2}\cdot90^{\circ}=45^{\circ}.
Пусть угол ABC
тупой. Тогда точка H_{1}
лежит на продолжении стороны BC
за точку B
, а точка H_{2}
лежит на стороне AC
. Как и в предыдущем случае
\gamma=90^{\circ}-\angle CAH_{1}=90^{\circ}-\frac{1}{2}H_{1}MH_{2}=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}.
Тот же результат для случая, когда угол BAC
тупой.
Пусть угол ACB
тупой. Тогда точки H_{1}
и H_{2}
лежат на продолжениях сторон соответственно BC
и AC
за вершину C
. Следовательно,
\gamma=180^{\circ}-\angle ACH_{1}=180^{\circ}-(90^{\circ}-\angle H_{1}AH_{2})=
=90^{\circ}+\frac{1}{2}H_{1}MH_{2}=90^{\circ}+45^{\circ}=135^{\circ}.
Источник: Готман Э. Г. Задачи по планиметрии и методы их решения. — М.: Просвещение, 1996. — № 121, с. 36