11871. Найдите геометрическое место точек плоскости параллелограмма ABCD
, для которых MA^{2}+MB^{2}=MC^{2}+MD^{2}
.
Ответ. Прямая, проходящая через центр параллелограмма перпендикулярно стороне AD
.
Решение. Пусть O
— центр параллелограмма ABCD
. Тогда OA=OC
и OB=OD
, поэтому
MA^{2}+MB^{2}=MC^{2}+MD^{2}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OM})^{2}+(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM})^{2}=(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OM})^{2}+(\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OM})^{2}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~-2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OM}-2\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OM}=-2\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OM}-2\overrightarrow{OD}\cdot\overrightarrow{OM}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\overrightarrow{OM}(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OD})=0~\Leftrightarrow~\overrightarrow{OM}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD})=0.
Значит, OM\perp\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}
, т. е. OM\perp OK
, где K
— середина стороны CD
, а так как AD\parallel OK
, то OM\perp AD
.
Группируя по-другому слагаемые в выражении
\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD},
аналогично получим, что
\overrightarrow{OM}\perp\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC},
а так как векторы \overrightarrow{BA}
и \overrightarrow{DC}
коллинеарны, то OM\perp AD
.
Следовательно, искомое ГМТ — прямая, проходящая через центр параллелограмма перпендикулярно сторонам AD
и BC
.
Источник: Готман Э. Г. Задачи по планиметрии и методы их решения. — М.: Просвещение, 1996. — № 304, с. 82