11873. Отрезок AD
— биссектриса прямоугольного треугольника ABC
с прямым углом при вершине C
. Окружность, проходящая через точки A
, C
, D
, пересекает гипотенузу AB
в точке M
, причём \frac{AM}{AB}=\frac{3}{5}
. Найдите катеты треугольника ABC
.
Ответ. 12
и 16
.
Решение. Отрезок AD
виден из точки C
под прямым углом, значит, AD
— диаметр окружности, проходящей через точки A
, C
и D
, поэтому \angle AMD=90^{\circ}
.
Точка D
лежит на биссектрисе угла CAB
, значит, эта точка равноудалена от сторон угла, т. е. DM=DC
. Тогда из равенства прямоугольных треугольников AMD
и ACD
следует, что AC=AM=\frac{3}{5}AB
. Значит,
\cos\angle BAC=\frac{AC}{AB}=\frac{\frac{3}{5}AB}{AB}=\frac{3}{5},~\sin\angle BAC=\frac{4}{5},~\tg\angle BAC=\frac{4}{3}.
Следовательно,
BM=DM\tg\angle BDM=DM\tg\angle BAC=6\cdot\frac{4}{3}=8,~AB=\frac{5}{2}BM=\frac{5}{2}\cdot8=20,
AC=AB\cos\angle BAC=20\cdot\frac{3}{5}=12,~BC=AB\sin\angle BAC=20\cdot\frac{4}{5}=16.
Источник: Готман Э. Г. Задачи по планиметрии и методы их решения. — М.: Просвещение, 1996. — № 507, с. 132