11874. Дана прямоугольная трапеция ABCD
, в которой угол при вершине B
равен \beta
. Окружность радиуса R
, центр которой лежит на основании AB
, касается прямых BC
, CD
и AD
. Найдите площадь трапеции.
Ответ. R^{2}\left(1+\frac{2-\cos\beta}{2\sin\beta}\right)
.
Решение. Пусть O
— центр окружности, M
и N
— точки касания с основанием CD
и боковой стороной BC
соответственно. Поскольку окружность с центром на на основании AB
касается боковой стороны AD
прямоугольной трапеции, эта окружность проходит через вершину A
. Луч CO
— биссектриса угла BCD
, поэтому
\angle OCN=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\beta)=90^{\circ}-\frac{\beta}{2},~\angle CON=\frac{\beta}{2}.
Значит,
CM=CN=ON\tg\frac{\beta}{2}=R\tg\frac{\beta}{2},
а так как
OB=\frac{ON}{\sin\beta}=\frac{R}{\sin\beta}~\mbox{и}~MD=OA=R,
то
S_{ABCD}=\frac{AB+CD}{2}\cdot AD=\frac{\left(R+\frac{R}{\sin\beta}\right)+\left(R+R\tg\frac{\beta}{2}\right)}{2}\cdot R=
=R^{2}\left(1+\frac{1}{2\sin\beta}+\frac{1}{2}\tg\frac{\beta}{2}\right)=R^{2}\left(1+\frac{1}{2\sin\beta}+\frac{1-\cos\beta}{2\sin\beta}\right)=
=R^{2}\left(1+\frac{2-\cos\beta}{2\sin\beta}\right).