11879. В параллелограмме ABCD
высота BE
, опущенная на сторону AD
, равна 3, AE:ED=1:4
, сторона BC=5
. На отрезках BE
и BC
отмечены такие точки G
и F
соответственно, что BG:GE=1:2
, BF:FC=3:2
. Определите градусную меру угла FDG
.
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. Из условия задачи следует, что
BG=1,~BF=3,~DE=4.
Пусть DH
— высота параллелограмма, опущенная на сторону BC
. Тогда BEDF
— прямоугольник, поэтому
BH=ED=4,~FH=BH-BF=4-3=1,~DH=BE=3=BF.
Значит, прямоугольные треугольники FBG
и FHF
равны по двум катетам. Тогда
DF=FG,~\angle BFG=\angle HDF,
\angle DFE=180^{\circ}-\angle DFH-\angle BFG=
=180^{\circ}-\angle DFH-\angle FHD=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ},
т. е. DFG
— равнобедренный прямоугольный треугольник. Следовательно, \angle FDG=45^{\circ}
.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2019, отборочный этап, 10 класс, № 2, вариант 1