11881. В прямоугольнике ABCD
сторона AD
вдвое больше стороны AB
. Точка M
— середина стороны AB
, точка K
лежит на стороне AD
и делит её в отношении 3:1
, считая от точки A
. Найти сумму углов CAD
и AKM
.
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. Первый способ. Пусть AB=2a
, AD=4a
. Обозначим \angle CAD=\alpha
, \angle AKM=\beta
. На продолжениях сторон AB
и DC
за точки B
и C
отложим отрезки BE=CF=a
. На отрезке EF
отметим точку P
, для которой EP=a
.
Прямоугольные треугольники AEP
, PFC
и KAM
равны по двум катетам (AE=PF=AK=3a
, EP=FC=AM=a
), поэтому AP=PC
и
\angle CPF=\angle MKA=\beta,~\angle APE=\angle KMA=90^{\circ}-\beta.
Тогда
\angle APC=180^{\circ}-\angle CPF-\angle APE=180^{\circ}-\beta-(90^{\circ}-\beta)=90^{\circ}.
Значит, треугольник APC
равнобедренный и прямоугольный, \angle CAP=45^{\circ}
. Следовательно,
\angle CAD+\angle AKM=\angle CAD+\angle EAP=90^{\circ}-\angle CAP=90^{\circ}-45^{\circ}=456{\circ}.
Второй способ. Обозначим \angle CAD=\alpha
, \angle AKM=\beta
. Из прямоугольных треугольников CAD
и MAK
находим, что
\tg\alpha=\frac{CD}{AD}=\frac{1}{2},~\tg\beta=\frac{AM}{AK}=\frac{1}{3}.
Значит,
\tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\tg\beta}=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}}=1.
Следовательно,
\alpha+\beta=45^{\circ}.