11882. Дана прямоугольная трапеция ABCE
, основания которой BC
и AE
равны 3 и 4 соответственно. Меньшая боковая сторона AB
равна BC
. На основании AE
отмечена точка D
, причём AD:DE=3:1
; на отрезке AD
отмечена точка F
, причём AF:FD=2:1
; на отрезке BD
отмечена точка G
, причём BG:GD=1:2
. Найдите градусную меру угла CFG
.
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. Первый способ. Пусть прямая, проведённая через точку F
параллельно AB
, пересекает основания BC
и AE
в точках M
и N
соответственно. Поскольку AE=4
, а AD:DE=3:1
, то AD=3
и DE=1
. При этом MN\parallel AB
и BG:GD=1:2
, поэтому BM=AN=1
, а так как BD
— диагональ квадрата ABCD
, то \angle NDG=45^{\circ}
. Значит, GN=ND=MC
и GM=BM=FN
. Следовательно, прямоугольные треугольники CMG
и GNF
равны по двум катетам. Тогда CG=FG
и \angle CGM=\angle GFN
, поэтому
\angle CGF=180^{\circ}-\angle CGM-\angle FGN=
=180^{\circ}-\angle CGM-(90^{\circ}-\angle GFN)=90^{\circ}.
Таким образом, треугольник CGF
прямоугольный и равнобедренный. Следовательно, \angle CFG=45^{\circ}
.
Второй способ. Обозначим \angle CDF=\alpha
, \angle GNF=\beta
. Из прямоугольных треугольников CDF
и GNF
находим, что
\tg\alpha=\frac{CD}{DF}=3,~\tg\beta=\frac{GN}{NF}=2.
Значит,
\tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\tg\beta}=\frac{3+2}{1-3\cdot2}=-1,
Поэтому \alpha+\beta=135^{\circ}
. Следовательно,
CFG=180^{\circ}-\alpha-\beta=45^{\circ}.