11885. Прямоугольные треугольники MDC
и ADK
имеют общий прямой угол D
. Точка K
лежит на отрезке CD
и делит его в отношении 2:3
, считая от точки C
. Точка M
— середина отрезка AD
. Найдите сумму углов AKD
и MCD
, если AD:DC=2:5
.
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. Первый способ. Обозначим AM=MD=a
. Тогда
AD=2a,~DC=5a,~DK=3a,~Ck=2a.
На продолжении отрезка DA
за точку A
отложим отрезок AL=3a
и рассмотрим квадрат ALJC
. На его сторонах CJ
и LJ
отметим соответственно такие точки N
и H
, что JN=LH=2a
. Тогда прямоугольные треугольники HJN
и ALH
равны по двум катетам (JN=LH=2a
, JH=LA=3a
), поэтому
AH=HN,~\angle AHL=\angle HNJ=90^{\circ}-\angle NHJ.
Значит, треугольник AHN
равнобедренный, а так как
\angle AHN=180^{\circ}-\angle AHL-\angle NHJ=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ},
то он прямоугольный. Тогда \angle NAH=45^{\circ}
.
Обозначим, \angle AKD=\alpha
, \angle MCD=\beta
. Из равенства прямоугольных треугольников ALH
и KDA
получаем \angle LAH=\alpha
, а из равенства прямоугольных треугольников ABN
и CDM
— \angle BAN=\alpha
. Следовательно,
\alpha+\beta=\angle BAL-\angle NAH=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}.
Второй способ. Обозначим, \angle AKD=\alpha
, \angle MCD=\beta
. Из прямоугольных треугольников ADK
и MDC
находим, что
\tg\alpha=\frac{AD}{DK}=\frac{2}{3},~\tg\beta=\frac{DM}{DC}=\frac{1}{5}.
Значит,
\tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\tg\beta}=\frac{\frac{2}{3}+\frac{1}{5}}{1-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{5}}=1,
Следовательно, \alpha+\beta=45^{\circ}
.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2019, отборочный этап, 9 класс, № 8, вариант 2