11887. В прямоугольнике ABCD
точка E
— середина стороны CD
. На стороне BC
взяли точку F
, для которой угол AEF
прямой. Найдите FC
, если AF=7
, BF=4
.
Ответ. 1,5.
Решение. Первый способ. Продолжим отрезок AE
до пересечения с продолжением стороны BC
в точке K
. Прямоугольные треугольники KCE
и ADE
равны по катету и прилежащему острому углу, поэтому точка E
— середина AK
, а CK=AD=BC
. Высота FK
треугольника AFK
является его медианой, значит, этот треугольник равнобедренный, FK=FA=7
. Тогда
BK=FK+BF=7+4=11,
следовательно,
FC=FK-CK=FK-\frac{1}{2}BK=7-\frac{11}{2}=\frac{3}{2}.
Второй способ. По теореме Пифагора
CD=AB=\sqrt{AF^{2}-BF^{2}}=\sqrt{47-16}=\sqrt{33},
тогда CE=DE=\frac{\sqrt{33}}{2}
.
Обозначим \angle CEF=\angle DAE=\alpha
, FC=x
. Из прямоугольных треугольников CEF
и DAE
получаем
\tg\alpha=\frac{CF}{CE}=\frac{x}{\frac{\sqrt{33}}{2}}=\frac{2x}{\sqrt{33}},
\tg\alpha=\frac{DE}{AD}=\frac{DE}{BC}=\frac{\frac{\sqrt{33}}{2}}{x+4}=\frac{\sqrt{33}}{2(x+4)}.
Из уравнения \frac{2x}{\sqrt{33}}=\frac{\sqrt{33}}{2(x+4)}
находим, что x=\frac{3}{2}
.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2019, отборочный этап, 8 класс, № 7, вариант 1